С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

108 2. Численные методы анализаВозьмём в качестве g(x) функциюg(x) ={exp(−1x 2 ), при x ≠ 0,0, при x = 0,известную в математическом анализе как пример бесконечно гладкой,но не аналитической (т. е. не разлагающейся в степенной ряд) функции.Погрешность интерполяции значения этой функции в нуле с помощьюформулы (2.73) равна exp(−1/h 2 ), при h → 0 она убывает быстреелюбой степени h, так что порядок точности нашей интерполяции оказываетсябесконечно большим. Но такой же бесконечно большой порядокточности интерполирования будет демонстрировать здесь функцияy = x 2 g(x), хотя для неё погрешность h 2 exp(−1/h 2 ) убывает существеннобыстрее.Из выкладок, проведённых для определения погрешности формулы«центральной разности», хорошо видна особенность метода разложенийпо формуле Тейлора: его локальный характер, вытекающий изсвойств самой формулы Тейлора. Наши построения оказываются «привязанными»к определённому узлу (или узлам) сетки, относительно которогои следует строить все разложения, чтобы обеспечить взаимныеуничтожения их ненужных членов. Как следствие, в этом специальномузле (узлах) мы можем быстро оценить погрешность. Но за пределамиэтого узла (узлов), в частности, между узлами сетки всё гораздо сложнееи не так красиво, поскольку взаимные уничтожения членов могутуже не происходить.Какой порядок точности имеют другие формулы численного дифференцирования?Методом разложений по формуле Тейлора для дважды гладкойфункции f нетрудно получить оценки|f x,i −f ′ (x i )| ≤ M 22 h, |f x,i −f ′ (x i )| ≤ M 2h, (2.74)2где M 2 = max ξ |f ′′ (ξ)| по ξ из соответствующего интервала между узлами.Таким образом, разность вперёд (2.61) и разность назад (2.61)имеют всего лишь первый порядок точности. Отметим, что для дваждынепрерывно дифференцируемых функций оценки (2.74) уже не могутбыть улучшены и достигаются, к примеру, на функции f(x) = x 2 .