С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.10. Нестационарные итерационные методы 367Таблица 3.8. Псевдокод метода минимальных невязокдля решения систем линейных уравненийk ← 0 ;выбираем начальное приближение x (0) ;DO WHILE ( метод не сошёлся )END DOr (k) ← Ax (k) −b ;τ k ← 〈Ar(k) ,r (k) 〉‖Ar (k) ‖ 2 2x (k+1) ← x (k) −τ k r (k) ;k ← k +1 ;;Доказательство теоремы можно найти, к примеру, в книге [56], гдедля невязок r (k) = Ax (k) −b доказывается оценка∥ r(k+1) ∥ ∥2≤( ( µ) ) 2 1/2∥1−∥ ∥r (k) M 2, k = 0,1,2,....С учётом выкладок (3.115) этот результат совершенно равносилен неравенству(3.116).Для систем линейных уравнений с несимметричными матрицами, которыеположительно определены, метод минимальных невязок такжесходится. Но если матрица системы не является положительно определённойметод может не сходиться к решению.Пример 3.10.1 В системе линейных алгебраических уравнений( ) ( 2 2 2x =1 0 1)матрица не является ни симметричной, ни положительно определённой(её собственные значения приблизительно равны 2.732 и −0.7321).