С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

390 3. Численные методы линейной алгебрыЭто же явление имеет место и для произвольной жордановой клетки,размером более двух.Всюду далее большую роль будут играть матрицы, которые преобразованиемподобия можно привести к диагональному виду. Для ихобозначения вводитсяОпределение 3.16.1 Матрицы, подобные диагональным матрицам,будем называть матрицами простой структуры или диагонализуемымиматрицами. 28Собственные числа матриц простой структуры зависят от возмущенийгораздо более «плавным образом», чем в общем случае.Теорема 3.16.1 (теорема Бауэра-Файка [86]) Если A — квадратнаяматрица простой структуры, λ i (A) — её собственные числа, V —матрица из собственных векторов A, а ˜λ — собственное число возмущённойматрицы A+∆A, тоmini∣ ∣˜λ−λi (A) ∣ ∣ ≤ cond2 (V)‖∆A‖ 2 . (3.138)Доказательство. Если ˜λ совпадает с каким-то из собственных значенийисходной матрицы A, то левая часть доказываемого неравенствазануляется, и оно, очевидно, справедливо. Будем поэтому предполагать,что ˜λ не совпадает ни с одним из λ i (A), i = 1,2,...,n. Следовательно,если, согласно условию теоремыV −1 AV = D,где D = diag{λ 1 ,λ 2 ,...,λ n } — диагональная матрица с собственнымичислами матрицы A по диагонали, то матрица D − ˜λI неособенна.С другой стороны, матрица A + ∆A − ˜λI является особенной попостроению, так что особенна и матрица V −1( A+∆A− ˜λI ) V . НоV −1( A+∆A− ˜λI ) V = (D − ˜λI)+V −1 (∆A)V28 Такие матрицы называют также недефектными.= (D − ˜λI) ( I +(D − ˜λI) −1 V −1 (∆A)V ) ,