С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.11. Полиномы Лежандра 13910.80.60.40.20−0.2−0.4−0.6−0.8−1−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Рис. 2.19. Графики первых полиномов Лежандра на интервале [−1.2,1.2].нечётной кратности α 1 , α 2 , . . . , α s , так чтоL n (x) = (x−θ 1 ) α1 (x−θ 2 ) α2 ···(x−θ s ) αs γ(x),где в полиноме γ(x) присутствуют корни L n (x), не лежащие на [−1,1],а также те корни L n (x) из [−1,1], которые имеют чётную кратность.Таким образом, γ(x) уже не меняет знака на интервале [−1,1]. Ясно,что s ≤ n, и наша задача — установить равенство s = n.Рассмотрим интегралI ==∫ 1−1∫ 1−1L n (x)(x−θ 1 )(x−θ 2 )···(x−θ s )dx(x−θ 1 ) α1+1 (x−θ 2 ) α2+1···(x−θ s ) αs+1 γ(x)dx.Теперьα 1 +1,α 2 +1, . . . ,α s +1 — чётные числа, так что подинтегральноевыражение не меняет знак на [−1,1]. Это выражение равно нулю лишьв конечном множестве точек, и потому определённо I ≠ 0.С другой стороны, выражение для I есть скалярное произведение,в смыслеL 2 [−1,1], полиномаL n (x) на полином(x−θ 1 )(x−θ 2 )···(x−θ s )