С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.12. Численное интегрирование 153полинома второй степени в форме Лагранжа(x− a+b )(x−b)P 2 (x) = 2(x−a)(x−b)(a− a+b ) f(a)+ ( a+b)( a+b(a−b) −a2 2 2((x−a) x− a+b )+ 2((b−a) b− a+b ) f(b)2=) f−b(2 ((b−a) 2 x− a+b )(x−b)f(a)−2(x−a)(x−b)f2(+(x−a)x− a+b2) )f(b) ,( a+b)2( a+b)2который строится для подинтегральной функции по узлам a, (a+b)/2и b.Предложение 2.12.1 Квадратурная формула Симпсона имеет алгебраическуюстепень точности 3, т.е. является точной для любогополинома степени не выше третьей.Доказательство. Отметим прежде всего, что для полиномов степенине выше второй этот факт следует прямо из того, что формула Симпсонапостроена как интерполяционная квадратурная формула, основаннаяна интерполяции подинтегральной функции полиномом второйстепени. Поэтому достаточно показать, что формула Симпсона точнадля монома x 3 , но не является точной для более высоких степеней.Имеем∫ bax 3 dx = b4 −a 4.4