С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

376 3. Численные методы линейной алгебрыТеорема 3.12.1 (теорема Самарского) Если A — симметричная положительноопределённая матрица, τ > 0 и B ⊲ 1 2τA, то стационарныйитерационный процессB x(k+1) −x (k)τ+Ax (k) = b, k = 0,1,2,...,сходится к решению системы уравнений Ax = b из любого начальногоприближения.Доказательство. Пусть x ∗ — решение системы уравнений Ax = b, такчтоB x∗ −x ∗+Ax ∗ = b.τЕсли обозначить через z (k) = x (k) −x ∗ — погрешность k-го приближения,то она удовлетворяет однородному соотношениюB z(k+1) −z (k)τ+Az (k) = 0, k = 0,1,2,.... (3.125)Исследует поведение энергетической нормы погрешности. Покажем сначала,что в условиях теоремы числовая последовательность ‖z (n) ‖ A =〈Az (n) ,z (n) 〉 является невозрастающей.Из соотношения (3.125) следуетиТаким образом,z (k+1) = ( I −τB −1 A ) z (k) , (3.126)Az (k+1) = ( A−τAB −1 A ) z (k) .〈Az (k+1) ,z (k+1) 〉 = 〈Az (k) ,z (k) 〉−τ 〈AB −1 Az (k) ,z (k) 〉Коль скоро матрица A симметрична,и потому〈Az (k+1) ,z (k+1) 〉 =−τ 〈Az (k) ,B −1 Az (k) 〉+τ 2 〈AB −1 Az (k) ,AB −1 Az (k) 〉.〈AB −1 Az (k) ,z (k) 〉 = 〈Az (k) ,B −1 Az (k) 〉,〈Az (k) ,z (k) 〉−2τ 〈( B − 1 2 τA) B −1 Az (k) ,B −1 Az (k)〉 . (3.127)