С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

150 2. Численные методы анализано вычисление полученного интеграла на практике нереально из-занеизвестного вида ξ(x). Как обычно, имеет смысл вывести какие-то болееудобные оценки погрешности, хотя они, возможно, будут не стольточны.Поскольку выражение (x−a)(x−b) почти всюду на интервале [a,b]сохраняет один и тот же знак, то∫ b∣ f ′′ (ξ(x)) ∣ |R(f)| ≤ ·|(x−a)(x−b)|dx2a≤ M 22 ·∣∫ bгде M 2 = max x∈[a,b] |f ′′ (x)|. Далее∫ ba(x−a)(x−b)dx == x33= 1 6∣baa∫ ba− (a+b) x22(x−a)(x−b)dx∣ ,(x 2 −(a+b)x+ab ) dx∣ba∣+abx(2 ( b 3 −a 3) −3(a+b) ( b 2 −a 2) )+6ab(b−a)∣ b a(2.113)= 1 6Поэтому окончательно(−b 3 +3ab 2 −3a 2 b+a 3) = − (b−a)3 .6|R(f)| ≤ M 2(b−a) 3.12Эта оценка погрешности квадратурной формулы трапеций неулучшаема,поскольку достигается на функции g(x) = (x−a) 2 .2.12в Квадратурная формула СимпсонаПостроим квадратурную формулу Ньютона-Котеса для n = 2, т. е.для трёх равномерно расположенных узловx 0 = a,x 1 = a+b2 , x 2 = b