С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.7. Методы на основе ортогональных преобразований 315Таблица 3.3. Модифицированный алгоритмортогонализации Грама-ШмидтаDO FOR j = 1 TO nq j ← v j ;END DODO k = 1 TO j −1α kj ← 〈q k ,q j 〉;q j ← q j −α kj q j ;END DOα jj ← ‖q j ‖ 2 ;IF (α jj = 0 ) THENSTOP, сигнализируя «v j линейно зависитот векторов v 1 , v 2 ,. . . , v j−1 »END IFq j ← q j /α jj ;случай — ортогонализация так называемых подпространств Крылова.Определение 3.7.3 Пусть A — квадратная n × n-матрица, r — n-вектор. Подпространствами Крылова K i (A,r), i = 1,2,...,n, матрицыA относительно вектора r называются линейные оболочки векторовr, Ar, ..., A i−1 r, т.е. K i (A,r) = lin{r,Ar,...,A i−1 r}.Оказывается, что если A — симметричная положительно определённаяматрица, то при ортогонализации подпространств Крылова построениекаждого последующего вектора привлекает лишь два предшествующихвектора из строящегося базиса. Более точно, справедливаТеорема 3.7.2 Пусть векторы r, Ar, A 2 r, ..., A n−1 r линейно независимы.Если векторы p 0 , p 1 , ..., p n−1 получены из них с помощьюпроцесса ортогонализации, то они выражаются трёхчленными ре-