С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.2. Теоретическое введение 203Матрица — это прямоугольная таблица, составленная из чисел иликаких-нибудь других объектов. Если она имеет m строк и n столбцов,то обычно её записывают в виде⎛ ⎞a 11 a 12 ... a 1na 21 a 22 ... a 2nA := ⎜⎝.. . ..⎟. ⎠ ,a m1 a m2 ... a mnназывая a ij элементами матрицы A = (a ij ). При этом мы можемотождествлять векторы с матрицами размера n × 1 (вектор-столбцы)либо 1×n (вектор-строки).Матрицы используются в современной математике для самых разнообразныхцелей. В частности, если дана система, составленная изконечного числа объектов (подсистем), то взаимодействие i-го объектас j-ым можно описывать матрицей, элементы которой суть a ij . Впростейшем случае эти элементы принимают значения 1 или 0, соответствующиеситуациям «связь есть» и «никак не связано». Для нашегокурса особенно важно, что с помощью матриц, как это показываетсяв линейной алгебре, даётся удобное представление для линейных отображенийконечномерных пространств.Ведущей подматрицей некоторой матрицы называется матрица, составленнаяиз строк и столбцов с первыми номерами. Ведущий минорматрицы — это определитель ведущей подматрицы.Транспонированной к m×n-матрице A = (a ij ) называется n ×mматрицаA ⊤ , в которой ij-ым элементом является a ji . Иными словами,⎛ ⎞a 11 a 21 ... a n1A ⊤ a 12 a 22 ... a n2:= ⎜⎝.. . ..⎟. ⎠ .a 1m a 2m ... a nmДля числовых матриц определены сумма, разность и произведение.Напомним, что сумма (разность) двух матриц одинакового размераесть матрица того же размера, образованная поэлементными суммами(разностями) операндов. Если A = (a ij ) — m×l-матрица и B = (b ij ) —l×n-матрица, то произведение матриц A и B есть такая m×n-матрицаC = (c ij ), чтоl∑c ij := a ik b kj .k=1