С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.18. Численные методы сингулярного разложения 427Доказательство. При QR-разложении хессенберговой матрицы в качествеортогонального сомножителя Q для матрицы (A (k) −ϑI) получаетсятакже хессенбергова матрица, так как j-ый столбец в Q естьлинейная комбинация первых j столбцов матрицы (A (k) −ϑI). В своюочередь, матрица RQ — произведение после перестановки сомножителей— также получается хессенберговой. Добавление диагональногослагаемого ϑI не изменяет верхней почти треугольной формы матрицы.Смысл предварительного приведения к хессенберговой форме заключаетсяв следующем. Хотя это приведение матрицы требует O(n 3 )операций, дальнейшее выполнение одной итерации QR-алгоритма с хессенберговойформой будет теперь стоить всего O(n 2 ) операций, так чтообщая трудоёмкость QR-алгоритма составит O(n 3 ). Для исходной версииQR-алгоритма, которая оперирует с плотно заполненной матрицей,трудоёмкость равна O(n 4 ), поскольку на каждой итерации алгоритмавыполнение QR-разложения требует O(n 3 ) операций.3.18 Численные методы нахождениясингулярных чисел и векторовСингулярные числа зависят от элементов матрицы существенно болееплавным образом, нежели собственные числа. Мы могли видеть этоиз следствия из теоремы Вейля (теорема 3.16.3). На эту тему существуетещё один известный результатТеорема 3.18.1 (теорема Виландта-Хофмана) Пусть A и B — эрмитовыn × n-матрицы, причём λ 1 ≥ λ 2 ≥ ... ≥ λ n — собственныезначения матрицы A и ˜λ 1 ≥ ˜λ 2 ≥ ... ≥ ˜λ n — собственные значенияматрицы Ã = A+B. Тогда(∑ n) 1/2) 2 (˜λi −λ i ≤ ‖B‖ F ,i=1где ‖·‖ F — фробениусова норма матрицы.Доказательство можно найти в [41, 42]