С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

136 2. Численные методы анализаЭто следует из зануления множителей (x 2 − 1), присутствующих вовсех слагаемых выражений для ψ (k) (x), k = 0,1,...,n−1. Кроме того,в силу формулы Родрига (2.104)L n (x) = 12 n n! ψ(n) (x), n = 0,1,2,....Поэтому, если Q(x) является n раз непрерывно дифференцируемойфункцией на [−1,1], то, последовательно применяя n раз формулу интегрированияпо частям, получим∫ 1−1Q(x)L n (x)dx = 12 n n!∫ 1−1Q(x)ψ (n) (x)dx= 1 ( ) ∣ 12 n Q(x)ψ (n−1) (x) ∣∣ − 1 ∫ 1n!−12 n Q ′ (x)ψ (n−1) (x)dxn! −1= − 1 ∫ 12 n Q ′ (x)ψ (n−1) (x)dxn! −1= ···= (−1) n 1 ∫ 12 n Q (n) (x)ψ(x)dx. (2.105)n! −1Если Q(x) — любой полином степени меньше n, то его n-ая производнаяQ (n) (x) равна тождественному нулю, а потому из полученнойформулы тогда следует∫ 1−1Q(x)L n (x)dx = 0.В частности, это верно и в случае, когда вместо Q(x) берётся полиномL m (x) степени m, меньшей n, что доказывает ортогональность этихполиномов с разными номерами.Найдём теперь скалярное произведение полинома Лежандра с самимсобой. Если Q(x) = L n (x), тоQ (n) (x) = 12 n n!d 2ndx 2n (x 2 −1 ) n=(2n)!2 n n! .