С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

262 3. Численные методы линейной алгебрыВычитая из этого равенства исходную невозмущённую систему уравнений,получим(∆A)x+(A+∆A)∆x = ∆b, (3.37)илитак что(∆A)(x+∆x)+A∆x = ∆b,∆x = A −1( −(∆A)˜x+∆b ) .Для оценки величины изменения решения ∆x воспользуемся какойнибудьудобной векторной нормой. Применяя её к обеим частям полученногосоотношения, будем иметь‖∆x‖ ≤ ‖A −1 ‖·(‖∆A‖‖˜x‖+‖∆b‖ )при согласовании используемых векторных и матричных норм. Предполагая,что возмущённое решение ˜x не равно нулю, можем поделитьобе части на ‖˜x‖ > 0, придя к неравенству‖∆x‖‖˜x‖(≤ ‖A −1 ‖· ‖∆A‖+ ‖∆b‖ )‖˜x‖( ‖∆A‖= ‖A −1 ‖‖A‖·‖A‖ + ‖∆b‖ ). (3.38)‖A‖·‖˜x‖Это весьма практичная апостериорная оценка относительной погрешностирешения, которую удобно применять после того, как приближённоерешение системы уже найдено. 7 Коль скоро ‖A‖ · ‖˜x‖ ≥‖A˜x‖ ≈ ‖b‖, то знаменатель второго слагаемого в скобках из правойчасти неравенства «приблизительно не превосходит» ‖b‖. Поэтому полученнойоценке (3.38) путём некоторого огрубления можно придатьболее элегантный вид‖∆x‖‖˜x‖( ‖∆A‖ ‖A −1 ‖‖A‖·‖A‖ + ‖∆b‖ ), (3.39)‖b‖в котором справа задействованы относительные погрешности в матрицеA и правой части b.7 От латинского словосочетания «a posteriori», означающего знание, полученноеиз опыта. Под «опытом» здесь понимается процесс решения задачи.