С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

4.7. Интервальные методы решения уравнений 473X гарантированно находится решение системы (4.2). С другой стороны,если в нашем распоряжении имеется интервальное расширение Fфункции F на X, то F(X) ⊇ ran(F,X). Поэтому если 0 ∉ F(X), тона X нет решений рассматриваемой системы уравнений.Далее, перепишем исходную систему (4.2) в равносильной рекуррентнойформеx = T(x) (4.20)с некоторым отображением T : R n → R n . Оно может быть взято, кпримеру, в видеT(x) = x−F(x)либоT(x) = x−ΛF(x),с неособенной n × n-матрицей Λ, либо как-нибудь ещё. Пусть такжеT : IR n → IR n — интервальное расширение отображения T. Ясно, чторешения системы (4.20) могут лежать лишь в пересечении X ∩T(X).Поэтому еслиX ∩T(X) = ∅,то в X нет решений системы уравнений (4.20). Коль скоро искомое решениесодержится и в T(X), то для дальнейшего уточнения бруса, вкотором может присутствовать решение, мы можем организовать итерациис пересечениемX (0) ← X, (4.21)X (k+1) ← T(X (k) )∩X (k) , k = 0,1,2,.... (4.22)Следует особо отметить, что в получающихся при этом брусах наличиерешения, вообще говоря, не гарантируется. Они являются лишь«подозрительными» на существование решения.Но вот если для бруса X выполненоT(X) ⊆ X,то по теореме Брауэра о неподвижной точке (стр. 471) в X гарантированнонаходится решение системы (4.20). Для уточнения этого брусамы снова можем воспользоваться итерациями (4.21)–(4.22). Таким образом,наихудшим, с точки зрения уточнения информации о решениисистемы, является случайT(X) X. (4.23)