С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.5. Общие факты алгебраической интерполяции 832P 10(x)Υ(x)−1 0 1xРис. 2.8. Интерполяция полиномом 10-й степени в примере Рунге0,1,2,...,n. Оказывается, что тогдаlimn→∞max |Υ(x)−P n(x)| = ∞,x∈[−1,1]где P n (x) — интерполяционный полином n-ой степени. При этом с ростомnвблизиконцов интервала интерполирования[−1,1] у полиномовP n (x) возникают сильные колебания (часто называемые также осцилляциями),размах которых стремится к бесконечности (см. Рис. 2.8).Получается, что хотя в узлах интерполирования значения функцииΥ(x) совпадают со значениями интерполяционного полинома, междуэтим узлами P n (x) и Υ(x) могут отличаться сколь угодно сильно, даженесмотря на плавный (бесконечно гладкий) характер изменения функцииΥ(x).Интересно, что на интервале [−κ,κ], где κ ≈ 0.726, рассматриваемыйинтерполяционный процесс равномерно сходится к Υ(x) (см. [64]).Кроме того, полезно отметить, что функция Υ(x) имеет производныевсех порядков для любого вещественного аргумента x, но у концов интервалаинтерполирования [−1,1] эти производные растут очень быстрои уже не удовлетворяют условию (2.45). Таким образом, несмотря напростой вид, функция Υ(x) из примера Рунге своим поведением слишкомнепохожа на полиномы, производные от которых растут умереннои, начиная с некоторого порядка, исчезают. Эти интересные вопросыотносятся уже к теории функций.