С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

230 3. Численные методы линейной алгебрыдля оценивания «величины» тех или иных объектов, так и для измерения«отклонения» одного вектора от другого. Кроме того, заданиенормы на некотором линейном векторном пространстве X автоматическиопределяет на нём и топологию, т. е. запас открытых и замкнутыхмножеств, структуру близости, с помощью которой можно будет, вчастности, выполнять предельные переходы. Более точно, введём следующееОпределение 3.3.2 Говорят, что в нормированном пространстве Xс нормой ‖·‖ переменная a ∈ X сходится к пределу a ⋆ по норме (относительнорассматриваемой нормы), если ‖a−a ⋆ ‖ → 0.Нормы в линейном векторном пространстве называются топологическиэквивалентными (или просто эквивалентными), если эквивалентныпорождаемые ими топологии, т. е. любое открытое (замкнутое)относительно одной нормы множество является открытым (замкнутым)также в другой норме, и наоборот. При условии эквивалентностинорм, в частности, предельный переход в одной из них влечёт существованиепредела в другой, и обратно. Из математического анализаизвестен простой критерий эквивалентности двух норм (см., к примеру,[52]):Предложение 3.3.1 Нормы ‖·‖ ′ и ‖·‖ ′′ на линейном векторном пространствеX эквивалентны тогда и только тогда, когда существуюттакие положительные константы C 1 и C 2 , что для любых a ∈ XC 1 ‖a‖ ′ ≤ ‖a‖ ′′ ≤ C 2 ‖a‖ ′ . (3.17)Формулировка этого предложения имеет кажущуюся асимметрию,так как для значений одной из эквивалентных норм предъявляется двусторонняя«вилка» из значений другой нормы с подходящими множителями-константами.Но нетрудно видеть, что из (3.17) немедленно следует1C 2‖a‖ ′′ ≤ ‖a‖ ′ ≤ 1 C 1‖a‖ ′′ ,так что существование «вилки» для одной нормы автоматически подразумеваетсуществование аналогичной «вилки» и для другой. C 1 и C 2обычно называют константами эквивалентности норм ‖·‖ ′ и ‖·‖ ′′ .Содержательный смысл Предложения 3.3.1 совершенно прозрачен.Если C 1 ‖a‖ ′ ≤ ‖a‖ ′′ , то в любой шар ненулевого радиса в норме ‖·‖ ′′