С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.16. Вычисление интегралов методом Монте-Карло 189В качестве примера рассмотрим задачу вычисления определённогоинтеграла∫ baf(x)dx (2.144)от непрерывной функции f(x). Согласно известной из интегральногоисчисления теореме о среднем (см., к примеру, [34])∫ baf(x)dx = (b−a)f(c)для некоторой точки c ∈ [a,b]. Смысл «средней точки» c можно понятьглубже с помощью следующего рассуждения. Пусть интервал интегрирования[a,b] разбит на N равных подинтервалов. По определению интегралаРимана, если x i — точки из этих подинтервалов, то∫ baf(x)dx ≈N∑i=1b−aN f(x i) = (b−a)· 1NN∑f(x i )i=1для достаточно больших N. Сумма в правой части — это произведениеширины интервала интегрирования (b−a) на среднее арифметическоезначений подинтегральной функции f в точках x i , i = 1,2,...,N. Такимобразом, интеграл от f(x) по [a,b] есть не что иное, как «среднеезначение» функции f(x) на интервале [a,b], умноженное на ширинуэтого интервала.Но при таком взгляде на искомый интеграл нетрудно заметить, что«среднее значение» функции f(x) можно получить каким-либо существенноболее эффективным способом, чем простое увеличение количестваравномерно расположенных точек x i . Например, можно попытатьсяраскидывать эти точки случайно по [a,b], но «приблизительноравномерно». Резон в таком образе действий следующий: случайный,но равномерный выбор точек x i позволит в пределе иметь то же «среднеезначение» функции, но, возможно, полученное быстрее, так какпри случайном бросании есть надежда, что будут легче учтены почтивсе «представительные» значения функции на [a,b].Для формализации высказанных идей целесообразно привлечь аппараттеории вероятностей. Эта математическая дисциплина исследуетслучайные явления, которые подчиняются свойству «статистическойустойчивости», т. е. обнаруживают закономерности поведения в большихсериях повторяющихся испытаний. Одними из основных понятий