С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.8. Численное дифференцирование 103Эта формула широко используется в вычислительной математике, и поаналогии с (2.61)–(2.62) часто обозначается кратко как f xx . Естественно,что полученные выражения для второй производной не зависят отаргумента x.Несмотря на то, что проведённые выше рассуждения основывалисьна применении интерполяционного полинома Лагранжа, для взятияпроизводных произвольных порядков на сетке общего вида удобнее использоватьинтерполяционный полином Ньютона, в котором члены являютсяполиномами возрастающих степеней.Выпишем ещё без вывода формулы численного дифференцированияна равномерной сетке, полученные по четырём точкам, т. е. с применениеминтерполяционного полинома третьей степени: для первойпроизводной —f ′ (x i ) ≈ 1 ( )−11fi +18f i+1 −9f i+2 +2f i+3 ,6h(2.66)f ′ (x i ) ≈ 1 ( )−2fi−1 −3f i +6f i+1 −f i+2 ,6h(2.67)f ′ (x i ) ≈ 1 ( )fi−2 −6f i−1 +3f i +2f i+1 ,6h(2.68)f ′ (x i ) ≈ 1 ( )−2fi−3 +9f i−2 −18f i−1 +11f i ,6h(2.69)для второй производной —f ′′ (x i ) ≈ 1 h 2 (2fi −5f i+1 +4f i+2 −f i+3), (2.70)f ′′ (x i ) ≈ 1 h 2 (fi−1 −2f i +f i+1), (2.71)f ′′ (x i ) ≈ 1 h 2 (−fi−3 +4f i−2 −5f i−1 +2f i). (2.72)В формуле (2.71) один из четырёх узлов, по которым строилась формула,никак не используется, а сама формула совпадает с формулой(2.65), полученной по трём точкам. Отметим красивую двойственностьформул (2.66) и (2.69), (2.67) и (2.68), а также (2.70) и (2.72). Неслучаентакже тот факт, что сумма коэффицентов при значениях функции вузлах во всех формулах равна нулю: он является следствием того, чтопроизводная постоянной функции — нуль.