С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

316 3. Численные методы линейной алгебрыкуррентными соотношениямиp 0 ← r,p 1 ← Ap 1 −α 1 p 1 ,p k+1 ← Ap k −α k p k −β k p k−1 ,k = 1,2,...,n−2,где коэффициенты ортогонализации α k и β k вычисляются следующимобразом:α k = 〈Ap k,p k 〉〈p k ,p k 〉 , k = 0,1,...,n−2,β k = 〈Ap k,p k−1 〉〈p k−1 ,p k−1 〉 = 〈p k,p k 〉〈p k−1 ,p k−1 〉 , k = 1,2,...,n−2.Этот факт был открыт К. Ланцошем в 1952 году и имеет многочисленныеприменения в практике вычислений. В частности, он существенноиспользуется в методе сопряжённых градиентов для решенияСЛАУ (см. §3.10г).Доказательство. Если векторы p 0 , p 1 , . . . , p n−1 получены из r, Ar,A 2 r, . . . , A n−1 r в результате ортогонализации, то из формул (3.83) следуетk−1∑p k = A k r +i=0c (k)i A i r,c (k)i ∈ R.Как следствие, вектор p k = A k r принадлежит подпространству, являющемусялинейной оболочкой векторов r, Ar, . . . , A k r, или, что то жесамое, линейной оболочкой векторов p 0 , p 1 , . . . , p k . По этой причинеp k+1 выражается через предшествующие векторы какp k+1 = Ap k −γ (k)0 p 0 −...−γ (k)k p kс какими-то коэффициентами γ (k)0 , . . . , γ(k) k .Домножая скалярно полученное соотношение на векторыp 0 , p 1 , . . . ,p k и привлекая условие ортогональности вектора p k+1 всем p 0 , p 1 , . . . ,p k , получимγ (k)j = 〈Ap k,p j 〉〈p j ,p j 〉 , j = 0,1,...,k.