С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

306 3. Численные методы линейной алгебры3.7г Метод ХаусхолдераВ основе метода Хаусхолдера для решения систем линейных алгебраическихуравнений (который называют также методом отражений)лежит та же самая идея, что и в методе Гаусса: привести эквивалентнымипреобразованиями исходную систему к правому (верхнему) треугольномувиду, а затем воспользоваться обратной подстановкой (3.54).Но теперь это приведение выполняется более глубокими, чем в методеГаусса, преобразованиями матрицы, именно, путём последовательногоумножения на специальным образом подобранные матрицы отражения.Предложение 3.7.3 Для любой квадратной матрицы A существуетконечная последовательность H 1 , H 2 , ..., H n−1 , состоящая изматриц отражения и, возможно, единичных матриц, таких чтоматрицаH n−1 H n−2···H 2 H 1 A = Rявляется правой треугольной матрицей.Раздельное упоминание матриц отражения и единичных матриц вызваноздесь тем, что единичная матрица не является матрицей отражения.Для формального описания алгоритма очень удобно применять системуобозначений матрично-векторных объектов, укоренившуюся вязыках программирования высокого уровня Fortran, Matlab, Scilab идр. В частности, посредством A(p : q,r : s) обозначается сечение массиваA,которое определяется как массив с тем же количеством измеренийи имеющий элементы, которые стоят на пересечении строк с номерамис p по q и столбцов с номерами с r по s. То есть, запись A(p : q,r : s)указывает в индексах матрицы A не отдельные значения, а целые диапазоныизменения индексов элементов, из которых образуется новаяматрица, как подматрица исходной.Доказательство предложения конструктивно.Используя результат Предложения 3.7.2, возьмём в качестве H 1матрицу отражения, которая переводит 1-й столбец A в вектор, коллинеарный(1,0,...,0) ⊤ , если хотя бы один из элементов a 21 , a 31 , . . . , a n1не равен нулю. Иначе полагаемH 1 = I. Затем переходим к следующемушагу.