С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

56 2. Численные методы анализацелогоk. Тогда для разделённой разности k+1-го порядка будем иметьf ∠ (x i ,x i+1 ,...,x i+k+1 )= f∠ (x i+1 ,x i+1 ,...,x i+k+1 )−f ∠ (x i ,x i+1 ,...,x i+k )x i+k+1 −x i=⎛1· ⎜x i+k+1 −x i ⎝по определению разделённой разностиi+k+1∑i+k+1j=i+1f(x j )∏(x j −x l )l=i+1l≠j−∑i+ki+kj=if(x j )∏ ⎟(x j −x l ) ⎠l=il≠j⎞согласно индукционному предположению=f(x i+k+1 )(x i+k+1 −x i ) i+k ∏(x i+k+1 −x l )+l=i+1⎛1· ⎜x i+k+1 −x i ⎝∑i+ki+k+1j=i+1f(x j )∏(x j −x l )l=i+1l≠j−∑i+ki+kj=i+1f(x j )∏ ⎟(x j −x l ) ⎠l=il≠j⎞−f(x i )(x i+k+1 −x i ) i+k ∏(x i −x l )l=i+1после вынесения из-под скобок первого слагаемого первой суммы и последнегослагаемого второй суммы. В полученную сумму члены с f(x i )и f(x i+k+1 ) — первый и последний — входят по одному разу, причём ихкоэффициенты уже имеют тот вид, который утверждается в Предложении.Члены с остальными f(x j ) входят дважды, и после приведения