С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.9. Стационарные итерационные методы 343откуда, ввиду результата Предложения 3.9.1, следует доказываемое. Итерационный метод Якоби был изобретён в середине XIX века исейчас при практическом решении систем линейных алгебраическихуравнений используется редко, так как существенно проигрывает поэффективности более современным численным методам. 21 Тем не менее,совсем сбрасывать метод Якоби со счёта будет преждевременным.Лежащая в его основе идея выделения из оператора системы уравнений«диагональной части» достаточно плодотворна и может быть с успехомприменена в различных ситуациях.Рассмотрим, к примеру, систему уравненийAx = b(x),в которойA —n×n-матрица,b(x) — некоторая вектор-функция от неизвестнойпеременной x. В случае, когдаb(x) — нелинейная функция, никакиечисленные методы для решения СЛАУ здесь уже неприменимы,но для отыскания решения мы можем воспользоваться незначительноймодификацией итераций Якобиx (k+1)i← 1a ii⎛⎝ b i(x(k) ) − ∑ j≠ia ij x (k)j⎞⎠, i = 1,2,...,n,k = 0,1,2,..., с некоторым начальным приближением x (0) . Если b(x)изменяется «достаточно медленно», так что |b ′ i (x)/a ii| < 1 для любыхx ∈ R n при всех i = 1,2,...,n, то сходимость этого процесса для произвольногоначального приближения следует, к примеру, из теоремыШрёдера о неподвижной точке (Теорема 4.4.5, стр. 462).Вообще, нелинейный итерационный процесс Якоби в применении ксистеме уравнений⎧F 1 (x 1 ,x 2 ,...,x n ) = 0,⎪⎨ F 2 (x 1 ,x 2 ,...,x n ) = 0,⎪⎩.. .. .F n (x 1 ,x 2 ,...,x n ) = 021 Примеры применения и детальные оценки скорости сходимости метода Якобидля решения модельных задач математической физики можно увидеть в [37].