С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.8. Численное дифференцирование 113или на компьютере — обычно не приводит к большим ошибкам, таккак порядок системы (2.76), равный порядку производной, бывает, какправило, небольшим. 12Пример 2.8.3 Построим формулу численного диференцированияИнтересен вопрос о взаимоотношении метода неопределённых коэффициентови рассмотренного ранее в §2.8а интерполяционного подходак численному дифференцированию. К примеру, Ш.Е. Микеладзе в книге[53] утверждает, что любая формула численного дифференцирования,полученная методом неопределённых коэффициентов, может бытьвыведена также с помощью интерполяционного подхода, отказывая методунеопределённых коэффициентов в оригинальности. Но нельзя отрицатьтакже, что метод неопределённых коэффициентов конструктивнопроще и технологичнее в применении, и уже только это обстоятельствооправдывает его существование.2.8г Полная вычислительная погрешностьчисленного дифференцированияРассмотрим поведение полной погрешности численного дифференцированияпри расчётах на реальных вычислительных устройствах.Под полной погрешностью мы понимаем суммарную ошибку численногонахождения производной, вызванную как приближённым характеромсамого метода, так и неточностями вычислений на цифровыхЭВМ из-за неизбежных ошибок округления и т. п.Предположим, к примеру, что первая производная функции вычисляетсяпо формуле «разность вперёд»Как мы уже знаем, её погрешностьf ′ (x i ) ≈ f x,i = f i+1 −f i.h|f x,i −f ′ (x i )| ≤ M 2h2 ,12 На стр. 87 мы уже обсуждали вопрос о том, каков наивысший порядок производных,всё ещё имеющих содержательный смысл.