С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.7. Методы на основе ортогональных преобразований 297лённой, то диагональными элементами в матрице D могут быть отрицательными.Но LDL-разложение столь же удобно для решения системлинейных алгебраических уравнений, как и рассмотренные ранее треугольныеразложения. Детали этих построений читатель может найти,к примеру, в [11, 15, 43, 67].Отметим также, что существует возможность другой организациивычислений при решении системы уравнений (3.70), когда неизвестныеэлементы c 11 , c 21 , c 22 , . . . , c nn последовательно находятся по строкаммножителя Холесского, а не по столбцам. Этот алгоритм называетсясхемой окаймления [15], и он по своим свойствам примерно эквивалентенрассмотренному выше алгоритму (3.72).3.7 Прямые методы на основеортогональных преобразований3.7а Число обусловленностии матричные преобразованияПусть матрицаAумножается на матрицуB. Как связано число обусловленностипроизведения AB с числами обусловленности исходныхсомножителей A и B?Справедливои поэтому‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖,∥ ∥ ∥(AB)−1 = ∥B −1 A −1∥ ∥ ≤ ‖A −1 ‖‖B −1 ‖,cond(AB) = ∥ ∥ (AB)−1 ∥ ∥ ‖AB‖ ≤ condA·condB. (3.73)С другой стороны, еслиC = AB, тоA = CB −1 , и в силу доказанногонеравенстваcond(A) ≤ cond(C)·cond(B −1 ) = cond(AB)·cond(B),коль скоро cond(B −1 ) = cond(B). Поэтомуcond(AB) ≥ cond(A)/cond(B).