С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

358 3. Численные методы линейной алгебрыРис. 3.20. Типичный график функционалаэнергии и его линии уровня.где обозначеноy = Qx. Видим, что в изменённой системе координат, котораяполучается с помощью ортогонального линейного преобразованияпеременных, выражение для функционала энергииΦ(x) есть суммаквадратов с коэффициентами, равными собственным значениям матрицыA, т. е. член 〈Dy,y〉, минус линейный член 2〈Qb,y〉. Таким образом,график функционала энергии — это эллиптический параболоид,возможно, сдвинутый относительно начала координат и ещё повёрнутый,а его поверхности уровня (линии уровня в двумерном случае) —эллипсоиды (эллипсы), в центре которых находится искомое решениесистемы уравнений. При этом форма эллипсоидов уровня находится взависимости от разброса коэффициентов при квадратах переменных,т. е. от числа обусловленности матрицы A. Чем больше эта обусловленность,тем сильнее сплющены эллипсоиды уровня, так что для плохообусловленныхСЛАУ решение находится на дне длинного и узкого«оврага».