С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

402 3. Численные методы линейной алгебрыдовольно плавный характер. В этом состоит важное отличие сингулярныхчисел матрицы от её собственных чисел, которые могут изменятьсяв зависимости от элементов матрицы сколь угодно быстро (см.Пример 3.16.3).3.17 Численные методы решенияпроблемы собственных значений3.17а Предварительное упрощение матрицыЕстественной идеей является приведение матрицы, для которой решаетсяпроблема собственных значений, к некоторой, по-возможности,простейшей форме, для которой собственные значения и/или собственныевекторы могут быть найдены проще, чем для исходной. В частности,идеальным было бы приведение матрицы к диагональной или треугольнойформе, по которым собственные числа могут быть найденынепосредственно. Элементраными преобразованиями, с помощью которыхможет быть выполнено это приведение, в данном случае должныбыть, очевидно, такие, которые сохраняют неизменным спектр матрицы,т. е. преобразования подобия матрицы A ↦→ S −1 AS. Они существенносложнее действуют на матрицу, чем преобразования линейного комбинированиястрок, которые использовались при решении систем линейныхалгебраических уравнений. Невозможность полной реализацииидеи упрощения матрицы следует из теоремы Абеля-Руффини, которуюмы обсуждали в §3.16а: если бы это упрощение было возможным,то оно привело бы к конечному алгоритму решения алгебраическихуравнений произвольной степени.Тем не менее, в некоторых частных случаях идея предварительногоупрощения матрицы для решения проблемы собственных значений,может оказаться полезной. Её наиболее популярное воплощение — этотак называемая почти треугольная (хессенбергова) форма матрицы.Определение 3.17.1 Матрица H = (h ij ) называется верхней почтитреугольной или хессенберговой матрицей (в форме Хессенберга), еслиh ij = 0 при i > j +1.Наглядный «портрет» хессенберговой матрицы выглядит следую-