С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

52 2. Численные методы анализаЕго называют интерполяционным полиномом в форме Лагранжа илипросто интерполяционным полиномом Лагранжа.Далее нам потребуется его запись в несколько другом виде. Введёмвспомогательную функциюω n (x) = (x−x 0 )···(x−x i−1 )(x−x i )(x−x i+1 )···(x−x n ) (2.12)— полином (n+1)-й степени, зануляющийся во всех узлах интерполяции.Тогдаω n (x)φ i (x) =(x−x i )ω n(x ′ i ) , (2.13)и поэтомуn∑ ω n (x)P n (x) = y i(x−x i )ω n ′ (x i) . (2.14)i=0Задача интерполяции полностью решается с помощью полиномов(2.11) и (2.14), которые находят широчайшее применение в вычислительнойпрактике. Тем не менее, в ряде случаев они оказываются несовсем удобными. Дело в том, что каждый из базисных полиномовЛагранжа φ i (x) зависит от всех узлов интерполяции сразу. По этойпричине если, к примеру, мы имеем дело с изменяющимся наборомузлов, то каждый раз должны будем перевычислять все φ i (x). Инымисловами, при смене набора узлов интерполяции полином Лагранжапретерпевает большое изменение и должен быть перевычислен заново.Нельзя ли найти такую форму интерполяционного полинома, котораяизменялась бы незначительно при небольших изменениях в набореузлов интерполяции? Этот вопрос решается с помощью интерполяционногополинома в форме Ньютона, и для его построения нам будетнеобходима новая техника, основанная на понятии разделённой разностиот функции.2.2в Разделённые разности и их свойстваПусть дана функция f и попарно различные точки x 0 , x 1 , . . . , x n изеё области определения, в которых функция принимает значенияf(x 0 ),f(x 1 ), . . . , f(x n ). Разделёнными разностями функции f, обозначаемымиf ∠ (x i ,x i+1 ), называются отношенияf ∠ (x i ,x i+1 ) := f(x i+1)−f(x i )x i+1 −x i, (2.15)