С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

80 2. Численные методы анализаОтметим, что при наличии одного узла кратности m интерполяционныйполином Эрмита должен совпасть с полиномом Тейлора, аформула (2.44) превращается в известную формулу остаточного членадля полинома Тейлора. Если же все узлы интерполяции простые, то(2.44) совпадает с полученной ранее формулой погрешности простойинтерполяции (2.24).2.5 Общие фактыалгебраической интерполяцииКак с теоретической, так и с практической точек зрения интересенвопрос о том, насколько малой может быть сделана погрешность интерполированияпри возрастании числа узлов. Вообще, имеет ли местосходимость интерполяционных полиномов к интерполируемой функциипри неограниченном возрастании количества узлов?Чтобы строго сформулировать соответствующие вопросы и общиерезультаты о сходимости алгебраических интерполянтов, необходимоформализовать некоторые понятия.Определение 2.5.1 Пусть для интервала [a,b] задана бесконечнаятреугольная матрица узлов⎛x (1)0 0 0 0 ···⎜⎝x (2)0 x (2)1 0 0 ···x (3)0 x (3)1 x (3)2 0 ···...⎞,⎟⎠. .. . ..такая что в каждой её строке расположены различные точки интервала[a,b], т.е. x (n)i ∈ [a,b] для всех положительных целых n и любыхi = 0,1,...,n, причём x (n)i ≠ x (n)j для i ≠ j. Говорят, что на интервале[a,b] задан интерполяционный процесс, если элементы n-ой строкиэтой матрицы берутся в качестве узлов интерполяции, по которымстроится последовательность интерполянтов g n (x), n = 1,2,....Если все интерполянтыg n (x) являются алгебраическими полиномами,то будем употреблять термин алгебраический интерполяционныйпроцесс.