С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

440 4. Решение нелинейных уравнений и их системэтот математический вопрос, отметим, прежде всего, что с точки зренияпрактических приложений задачи, которые мы обычно формулируемв виде решения уравнений или систем уравнений, традиционновыписывая соотношениеF(x) = 0 (4.2)и ему подобные, имеют весьма различную природу. Это и будет отправнойточкой нашей ревизии постановки задачи решения уравненийи систем уравнений.4.2в ε-решения уравненийВ ряде практических задач пользователю требуется не точное равенствонекоторого выражения нулю, а лишь его «исчезающая малость»в сравнении с каким-то a priori установленным порогом. С аналогичнойточки зрения часто имеет смысл рассматривать соотношениявида (4.3) или (4.4), выражающие равенство двух каких-то выражений.Таковы, например, в большинстве физических, химических и другихестественнонаучных расчётов уравнения материального баланса,вытекающие из закона сохранения массы и закона сохранения заряда.Точное равенство левой и правой частей уравнения здесь неявнымобразом и не требуется, так как погрешность этого равенства всегдаограничена снизу естественными пределами делимости материи. В самомделе, масса молекулы, масса и размеры атома, заряд элементарнойчастицы и т. п. величины, с точностью до которых имеет смыслрассматривать конкретные уравнения баланса — все они имеют вполнеконечные (хотя и весьма малые) значения.Например, не имеет смысла требовать, чтобы закон сохранения зарядавыполнялся с погрешностью, меньшей чем величина элементарногоэлектрического заряда (т. е. заряда электрона, равного1.6·10 −19 Кл).Также бессмысленно требовать, чтобы погрешность изготовления илиподгонки деталей оптических систем была существенно меньшей длинысветовой волны (от 4·10 −7 м до 7.6·10 −7 м в зависимости от цвета).А что касается температуры, то при обычных земных условиях определениееё с точностью, превосходящей 0.001 градуса, вообще проблематичнов силу принципиальных соображений. Наконец, ограниченнаяточность, с которой известны абсолютно все физические константы 1 ,1 В лучшем случае относительная погрешность известных на сегодняшний деньзначений физических констант равна 10 −10 , см. [58].