С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.6. Прямые методы решения линейных систем 275но стремятся к компромиссу между этими взаимно противоположнымитребованиями, и в зависимости от целей, преследуемых при решенииСЛАУ, приводят её к диагональному (метод Гаусса-Йордана), двухдиагональному(см., к примеру, [65]) или треугольному виду. Мы, в основном,рассмотрим методы, основанные на приведении к треугольномувиду.Наконец, для простоты мы далее подробно разбираем случай системуравнений (3.43)–(3.44), в которых число неизвестных n равно числууравненийm, т. е. имеющих квадратнуюn×n-матрицу коэффициентов.3.6а Решение треугольных линейных системНапомним, что треугольными матрицами называют матрицы, укоторых все элементы ниже главной диагонали либо все элементы вышеглавной диагонали нулевые (так что и нулевые, и ненулевые элементыобразуют треугольники):⎛ ⎞ ⎛ ⎞× × ··· × × ×0× . . . × ×× × U =. .. . ., L =× × . . ⎜0.,⎟ ⎜⎝ × × ⎠ ⎝... .. ⎟ × ⎠× × × ··· × ×где крестиками «×» обозначены ненулевые элементы. В первом случаеговорят о верхней (или правой) треугольной матрице, а во втором— о нижней (или левой) треугольной матрице. Соответственно, треугольныминазываются системы линейных алгебраических уравнений,матрицы которых имеют треугольный вид — верхний или нижний.Рассмотрим для определённости линейную систему уравненийLx = b (3.51)с неособенной нижней треугольной матрицей L = (l ij ), так что l ij = 0приj > i иl ii ≠ 0 для всехi = 1,2,...,n. Её первое уравнение содержиттолько одну неизвестную переменную x 1 , второе уравнение содержитдве неизвестных переменных x 1 и x 2 , и т. д., так что в i-е уравнениевходят лишь переменные x 1 , x 2 , . . . , x i . Найдём из первого уравнениязначение x 1 и подставим его во второе уравнение системы, в котором врезультате останется всего одна неизвестная переменная x 2 . Вычислим