С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

170 2. Численные методы анализаФормула Ньютона-Котеса с двумя узлами 0 и π/2 — формула трапеций— даёт для этого интеграла значение∫ π/20cosx dx ≈ π (2 · cos0+cos π )2= 0.785398,точность которого весьма низка.Чтобы получить с формулами Ньютона-Котеса точность вычислениярассматриваемого интеграла, сравнимую с той, что даёт формулаГаусса, приходится брать больше узлов. Так, формула Симпсона(2.115), использующая три узла — 0, π/4 и π/2, — приводит к результату∫ π/20cosx dx ≈ π/2 (6 · cos0+4 cos π 4 +cos π )2= π 12(1+2√2)= 1.00228,погрешность которого по порядку величины примерно равна погрешностиответа по формуле Гаусса (2.131), но всё-таки превосходит её вполтора раза.С ростом n сложность системы уравнений (2.126) для узлов и весовформул Гаусса быстро нарастает, так что в общем случае остаётсянеясным, будет ли разрешима эта система (2.126) при любом наперёдзаданном n. Будут ли её решения вещественными? Сколько их всего?Будут ли эти решения принадлежать интервалу [a,b], чтобы служитьпрактически удобными узлами квадратурной формулы?Получение ответов на поставленные вопросы непосредственно изсистемы уравнений (2.126) представляется громоздким и малоперспективным.К.Ф. Гауссом было предложено расчленить получившуюся задачуна отдельные подзадачи1) построения узлов формулы и2) вычисления её весовых коэффициентов.Зная узлы формулы, можно подставить их в систему уравнений (2.126),которая в результате решительно упростится, превратившись в системулинейных алгебраических уравнений относительно c 1 , c 2 , . . . , c n .Она будет переопределённой, но нам достаточно рассматривать подсистемуиз первых n уравнений, матрица которой является матрицей