С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

252 3. Численные методы линейной алгебрытрального радиуса. Возьмём от обеих частей равенства (3.31) какуюнибудьвекторную норму:∥ A k v ∥ ∥ = ‖λ k v‖.Поэтому ‖A k ‖‖v‖ ≥ |λ k |‖v‖ для согласованной матричной нормы ‖A‖,так что после сокращения на ‖v‖ ≠ 0 получаем∥ ∥ Ak ≥ |λ|kдля всех k = 0,1,2,....По этой причине для любого собственного значения матрицы имеетместо оценка|λ| ≤ inf ∥ ∥ Ak 1/k ,k∈Nили, иными словами,∥ρ(A) ≤ inf ∥A k∥ ∥ 1/k . (3.32)k∈NТак как всякая матричная норма всегда согласована с какой-то векторной,то выведенное неравенство справедливо для любой матричнойнормы. Оно является обобщением Предложения 3.3.9, переходя в негопри k = 1.Уточнением неравенства (3.32) является формула Гельфандаρ(A) = lim ∥ ∥ Ak 1/k ,k→∞которая также верна для любой из матричных норм. Её доказательствоможно найти, к примеру, в [50].Предложение 3.3.10, неравенство (3.32) и формула Гельфанда, показывают,что с помощью спектрального радиуса адекватно описываетсяасимпототическое поведение норм степеней матрицы. Несмотря на то,что матрица является сложным составным объектом, нормы её степенейведут себя примерно так же, как геометрическая прогрессия сознаменателем, равным спектральному радиусу. Например, для матрицы(3.30) или любой ей подобной n-ая степень зануляется, и это свойствообнаруживается спектральным радиусом.3.3з Матричный ряд НейманаКак известно из математического анализа, операцию суммированияможно обобщить на случай бесконечного числа слагаемых, и такие бес-