С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.14. Составные квадратурные формулы 181где C — константа, зависящая от типа квадратурной формулы и интегрируемойфункции, но в любом случаеp > 1. К примеру, для формулысредних прямоугольников C = M 2 /24 и p = 3, а для формулы СимпсонаC = M 4 /2880 и p = 5. Разобьём интервал интегрирования точкамиr 1 , r 2 , . . . , r N−1 на N равных частей [a,r 1 ], [r 1 ,r 2 ], . . . , [r N−1 ,b] длиныh = (b−a)/N. Тогда, пользуясь аддитивностью интеграла, можновычислить по рассматриваемой формуле интегралы∫ ri+1r if(x)dx, i = 0,1,...,N −1,где r 0 = a, b = r N , а затем положить∫ baf(x)dx ≈N−1∑i=0∫ ri+1На каждом подинтервале [r i ,r i+1 ]( ) p b−a|R(f)| ≤ C = Ch p ,Nr if(x)dx. (2.138)а полная погрешность интегрирования ˜R(f) при использовании представления(2.138) не превосходит суммы погрешностей отдельных слагаемых,т. е.( ) p b−a|˜R(f)| ≤ N C = C(b−a)pN N p−1 = C(b−a)h p−1 .Как видим, эта погрешность уменьшилась в N p−1 раз, и потенциальнотаким способом погрешность вычисления интеграла можно сделатьсколь угодно малой.Число(p−1) часто называют порядком точности (составной) квадратурнойформулы, и это понятие очевидно согласуется с данным ранееОпределением 2.8.1. Ясно, что основная идея составных квадратурныхформул работает и в случае неравномерного разбиения интервала интегрированияна более мелкие части, но анализ погрешности проводитьтогда труднее.Для равномерного разбиения интервала интегрирования составныеквадратурные формулы выглядят особенно просто. Выпишем их явныйвид для рассмотренных выше простейших квадратур Ньютона-Котеса и разбиения интервала интегрирования [a,b] на N равных частей[r 0 ,r 1 ], [r 1 ,r 2 ], . . . , [r N−1 ,r N ] длины h = (b −a)/N каждая, в которомa = r 0 и r N = b.