С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

380 3. Численные методы линейной алгебрыметод Шульца для обращения матриц: задавшись специальным начальнымприближением X (0) , выполняют итерацииX (k+1) ← X (k)( 2I −AX (k)) , k = 0,1,2,... . (3.129)Метод Шульца — это не что иное как метод Ньютона для решения системыуравнений, применённый к X −1 −A = 0 (см. §4.5б). 25 Его можнотакже рассматривать как матричную версию известной процедуры длявычисления обратной величины (см. [12], глава 3).Предложение 3.13.1 Метод Шульца сходится тогда и только тогда,когда его начальное приближение X (0) удовлетворяет условиюρ(I −AX (0) ) < 1.Доказательство. Расчётную формулу метода Шульца можно переписатьв видеX (k+1) = 2X (k) −X (k) AX (k) .Умножим обе части этого равенства слева на (−A) и добавим к ним поединичной матрице I, получимчто равносильноI −AX (k+1) = I −2AX (k) +AX (k) AX (k) ,I −AX (k+1) = (I −AX (k) ) 2 , k = 0,1,2,... .Отсюда, в частности, следует, чтоI −AX (k) = ( I −AX (0)) 2 k , k = 0,1,2,... .Если X (k) → A −1 при k → ∞, то ( I − AX (0)) 2 k → 0 — последовательностьстепеней матрицы сходится к нулю. Тогда необходимоρ(I −AX (0) ) < 1 в силу Предложения 3.3.10.И наоборот, если ρ(I−AX (0) ) < 1, то ( I−AX (0)) 2 k → 0 при k → ∞,и потому должна иметь место сходимость X (k) → A −1 . Из доказательства предложения следует, что метод Шульца имеетквадратичную сходимость.25 Иногда этот метод называют также методом Хотеллинга, так как одновременнос Г. Шульцем [94] его рассматривал американский экономист и статистикГ. Хотеллинг [89]. Кроме того, встречается (хотя и крайне редко) также названиеметод Бодевига.