С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.17. Численные методы для проблемы собственных значений 417вращений, рассмотренные в §3.7д. Почему именно ортогональные матрицыи почему вращений? Ответ на эти вопросы станет ясен позднеепри анализе работы алгоритма.Итак, положим A (0) := A. Если матрица A (k) , k = 0,1,2,..., ужевычислена, то подберём матрицу вращений G(p,q,θ) вида (3.81) такимобразом, чтобы сделать нулями пару внедиагональных элементов в позициях(p,q)и(q,p) в матрицеA (k+1) := G(p,q,θ) ⊤ A (k) G(p,q,θ). Желаядостичь этой цели, мы должны добиться выполнения равенства(a(k+1)ppa (k+1)qpa (k+1)pqa (k+1)qq)=(cosθ −sinθsinθ cosθ( )× 0) ⊤ (a(k)ppa (k)qpa (k)pqa (k)qq)( )cosθ −sinθsinθ cosθ=0 ×,где, как обычно, посредством «×» обозначены какие-то элементы, конкретноезначение которых несущественно. Строго говоря, в результатерассматриваемого преобразования подобия в матрице A (k) изменятсяи другие элементы, находящиеся в строках и столбцах с номерами p иq. Этот эффект будет проанализирован ниже в Предложении 3.17.3.Опуская индексы, обозначающие номер итерации и приняв сокращённыеобзначения c = cosθ, s = sinθ, получим( )× 00 ×=(a pp c 2 +a qq s 2 +2sca pq sc(a qq −a pp )+a pq (c 2 −s 2 ))sc(a qq −a pp )+a pq (c 2 −s 2 ) a pp s 2 +a qq c 2 −2sca pqПриравнивание внедиагональных элементов нулю даётa pp −a qq= c2 −s 2.a pq scПоделив обе части этой пропорции пополам, воспользуемся тригонометрическимиформулами двойных угловa pp −a qq= c2 −s 2= cos(2θ)2a pq 2sc sin(2θ) = 1 =: τ.tg(2θ)