С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.17. Численные методы для проблемы собственных значений 423но развил практичную версию QR-алгоритма.QR-алгоритм является наиболее успешным представителем большогосемейства родственных методов решения полной проблемы собственныхзначений, основанных на разложении исходной матрицы напростейшие. QR-алгоритму предшествовал LR-алгоритм Рутисхаузера.На практике применяются также ортогональный степенной метод,предложенный В.В. Воеводиным, и различные другие близкие вычислительныепроцессы.Вспомним теорему о QR-разложении (Теорема 3.7.1, стр. 300): всякаяквадратная матрица представима в виде произведения ортогональнойи правой (верхней) треугольной матриц. Ранее в нашем курсе мыуже обсуждали конструктивные способы выполнения этого разложения— с помощью матриц отражения Хаусхолдера, а также с помощьюматриц вращений. Следовательно, далее можно считать, что QRразложениевыполнимо и основывать на этом факте свои построения.Вычислительная схема базового QR-алгоритма для решения проблемысобственных значений представлена в Табл. 3.13: мы разлагаемматрицу A (k) , полученную на k-м шаге алгоритма, k = 0,1,2,..., наортогональный Q (k) и правый треугольный R (k) сомножители и далее,поменяв их местами, умножаем друг на друга, образуя следующее приближениеA (k+1) .Таблица 3.13. QR-алгоритм для нахождениясобственных значений матрицы Ak ← 0;A (0) ← A;DO WHILE ( метод не сошёлся )вычислить QR-разложение A (k) = Q (k) R (k) ;A (k+1) ← R (k) Q (k) ;k ← k +1;END DOею раньше — в Дополнении к изданию 1960 года книги [44].