С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.2. Интерполирование функций 59порядка, которую можно рассматривать как «недоделанную производную»,поскольку у неё отсутствует предельный переход одного аргументак другому.Предложение 2.2.2 (связь разделённых разностей с производными)Пусть f ∈ C n [a,b], т.е. функция f непрерывно дифференцируема nраз на интервале [a,b], где расположены узлы x 0 , x 1 , ..., x n , и пустьx = min{x 0 ,x 1 ,...,x n }, x = max{x 0 ,x 1 ,...,x n }. Тогдадля некоторой точки ξ ∈ ]x,x[.f ∠ (x 0 ,x 1 ,...,x n ) = 1 n! f(n) (ξ)Для разделённых разностей первого порядка этот факт непосредственноследует из теоремы Лагранжа о среднем (формулы конечныхприращений), согласно которойf(x i+1 )−f(x i ) = f ′ (ξ)·(x i+1 −x i )для некоторой точки ξ ∈ ]x i ,x i+1 [ . Для общего случая доказательствоПредложения 2.2.2 будет приведено несколько позже, в §2.2д.Существует более точное (хотя и более громоздкое) интегральноепредставление для разделённых разностей, о котором можно подробноузнать в [17, 53, 66].2.2г Интерполяционный полином НьютонаВыведем теперь другую форму интерполяционного полинома с учётомтребования иметь такое выражение, которое в минимальной степениперестраивалось бы при смене набора узлов интерполяции.Обозначим через P k (x) интерполяционный полином степени k, построенныйпо узлам x 0 , x 1 , . . . , x k . В частности, P 0 (x) = f(x 0 ), имеянулевую степень и будучи построенным по одному узлу x 0 . Тогда очевидноследующее тождествоP n (x) = P 0 (x)+n∑ (Pk (x)−P k−1 (x) ) . (2.21)k=1Замечательность этого представления состоит в том, что при добавленииили удалении последних по номеру узлов интерполяции перестройкедолжны подвергнуться лишь те последние слагаемые суммы