С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

More documents

Recommendations

Info

3.17. Численные методы для проблемы собственных значений 407Таблица 3.10. Степенной метод для нахождениядоминирующего собственного значения матрицыk ← 0;выбираем вектор x (0) ≠ 0;нормируем x (0) ← x (0) /‖x (0) ‖ 2 ;DO WHILE ( метод не сошёлся )END DOy (k+1) ← Ax (k) ;˜λ ← 〈 y (k+1) ,x (k)〉 ;x (k+1) ← y (k+1) /‖y (k+1) ‖ 2 ;k ← k +1;где D = diag{λ 1 ,λ 2 ,...,λ n } — диагональная матрица с собственнымизначениями λ 1 , λ 2 , . . . , λ n по диагонали, а V — матрица, осуществляющаяпреобразование подобия, причём без ограничения общности можносчитать, что λ 1 — доминирующее собственное значение A. Матрица Vсоставлена из собственных векторов v i матрицы A как из столбцов:⎛⎞(v 1 ) 1 (v 2 ) 1 ... (v n ) 1V = ( ) (v 1 ) 2 (v 2 ) 2 ... (v n ) 2v 1 v 2 ··· v n = ⎜.⎝ . . .. ⎟ . ⎠ ,(v 1 ) n (v 2 ) n ... (v n ) nгде через (v i ) j обозначена j-ая компонента i-го собственного вектора
408 3. Численные методы линейной алгебрыматрицы A. При этом можно считать, что ‖v i ‖ 2 = 1. Следовательно,A k x (0) = ( VDV −1) kx (0) = ( VDV −1)( VDV−1)···(VDV−1)x (0)} {{ }k раз= VD ( V −1 V ) D ( V −1 V )···(V −1 V ) DV −1 x (0)= VD k V −1 x (0) = VD k z= V⎛λ k 1 z ⎞ ⎛ ⎞11λ k 2z 2⎜ ⎟⎝ . ⎠ = ( λ k 1 z ) (λ 2 /λ 1 ) k (z 2 /z 1 )1 V ⎜ ⎟⎝ . ⎠ ,λ k nz n (λ n /λ 1 ) k (z n /z 1 )где обозначено z = V −1 x (0) . Необходимое условие последнего преобразованияэтой цепочки — z 1 ≠ 0 — выполнено потому, что в условияхтеоремы вектор x (0) = Vz должен иметь ненулевую первую компонентупри разложении по базису из собственных векторов A, т. е. столбцовматрицы V .Коль скоро λ 1 — доминирующее собственное значение матрицы A,т. е.|λ 1 | > |λ 2 | ≥ ... ≥ |λ n |,то все частные λ 2 /λ 1 , λ 3 /λ 1 , . . . , λ n /λ 1 по модулю меньше единицы, ипотому при k → ∞ вектор⎛ ⎞1(λ 2 /λ 1 ) k (z 2 /z 1 )⎜ ⎟⎝ . ⎠(λ n /λ 1 ) k (z n /z 1 )сходится к вектору (1,0,0,...,0) ⊤ . Соответственно, произведение⎛ ⎞1(λ 2 /λ 1 ) k (z 2 /z 1 )V⎜ ⎟⎝ . ⎠(λ n /λ 1 ) k (z n /z 1 )(3.146)
Page 1 and 2:
С.П. ШарыйКурсВЫЧИС
Page 3 and 4:
Книга является сис
Page 5 and 6:
4 Оглавление2.6а Эле
Page 7 and 8:
6 Оглавление3.7г Мет
Page 9 and 10:
ПредисловиеПредст
Page 11 and 12:
10 1. ВведениеК.Г. Яко
Page 13 and 14:
12 1. Введениеи потом
Page 15 and 16:
14 1. ВведениеРассмо
Page 17 and 18:
16 1. ВведениеПоэтом
Page 19 and 20:
18 1. Введениеется та
Page 21 and 22:
20 1. ВведениеПусть р
Page 23 and 24:
22 1. Введениетем, чт
Page 25 and 26:
24 1. ВведениеВ частн
Page 27 and 28:
26 1. Введение(вектор
Page 29 and 30:
28 1. Введение✻f(X)✛X
Page 31 and 32:
30 1. Введението инте
Page 33 and 34:
32 1. Введениевать их
Page 35 and 36:
34 1. ВведениеЕстест
Page 37 and 38:
36 1. Введениематриц
Page 39 and 40:
38 1. Введениеции, та
Page 41 and 42:
40 1. Введение[29] Neumaier
Page 43 and 44:
42 2. Численные метод
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66:
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91:
Page 94 and 95:
2.6. Сплайны 93Чтобы з
Page 96 and 97:
2.6. Сплайны 95двух пе
Page 98 and 99:
2.7. Нелинейные мето
Page 100 and 101:
2.8. Численное диффе
Page 102 and 103:
Page 104 and 105:
Page 106 and 107:
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
Page 116 and 117:
Page 118 and 119:
2.9. Алгоритмическое
Page 120 and 121:
2.10. Приближение фун
Page 122 and 123:
Page 124 and 125:
Page 126 and 127:
Page 128 and 129:
Page 130 and 131:
Page 132 and 133:
Page 134 and 135:
2.11. Полиномы Лежанд
Page 136 and 137:
Page 138 and 139:
Page 140 and 141:
Page 142 and 143:
Page 144 and 145:
2.12. Численное интег
Page 146 and 147:
Page 148 and 149:
Page 150 and 151:
Page 152 and 153:
Page 154 and 155:
Page 156 and 157:
Page 158 and 159:
Page 160 and 161:
Page 162 and 163:
Page 164 and 165:
Page 166 and 167:
2.13. Квадратурные фо
Page 168 and 169:
Page 170 and 171:
Page 172 and 173:
Page 174 and 175:
Page 176 and 177:
Page 178 and 179:
Page 180 and 181:
Page 182 and 183:
2.14. Составные квадр
Page 184 and 185:
2.15. Сходимость квад
Page 186 and 187:
Page 188 and 189:
Page 190 and 191:
2.16. Вычисление инте
Page 192 and 193:
2.16. Вычисление инте
Page 194 and 195:
2.17. Правило Рунге д
Page 196 and 197:
Литература к главе
Page 198 and 199:
Page 200 and 201:
3.1. Задачи вычислит
Page 202 and 203:
3.2. Теоретическое в
Page 204 and 205:
Page 206 and 207:
Page 208 and 209:
Page 210 and 211:
Page 212 and 213:
Page 214 and 215:
Page 216 and 217:
Page 218 and 219:
Page 220 and 221:
Page 222 and 223:
Page 224 and 225:
Page 226 and 227:
3.3. Нормы векторов и
Page 228 and 229:
Page 230 and 231:
Page 232 and 233:
Page 234 and 235:
Page 236 and 237:
Page 238 and 239:
Page 240 and 241:
Page 242 and 243:
Page 244 and 245:
Page 246 and 247:
Page 248 and 249:
Page 250 and 251:
Page 252 and 253:
Page 254 and 255:
Page 256 and 257:
3.4. Приложения синг
Page 258 and 259:
Page 260 and 261:
Page 262 and 263:
3.5. Обусловленность
Page 264 and 265:
Page 266 and 267:
Page 268 and 269:
Page 270 and 271:
Page 272 and 273:
Page 274 and 275:
3.6. Прямые методы ре
Page 276 and 277:
Page 278 and 279:
Page 280 and 281:
Page 282 and 283:
Page 284 and 285:
Page 286 and 287:
Page 288 and 289:
Page 290 and 291:
Page 292 and 293:
Page 294 and 295:
Page 296 and 297:
Page 298 and 299:
3.7. Методы на основе
Page 300 and 301:
Page 302 and 303:
Page 304 and 305:
Page 306 and 307:
Page 308 and 309:
Page 310 and 311:
Page 312 and 313:
Page 314 and 315:
Page 316 and 317:
Page 318 and 319:
3.8. Метод прогонки 31
Page 320 and 321:
Page 322 and 323:
Page 324 and 325:
3.9. Стационарные ит
Page 326 and 327:
Page 328 and 329:
Page 330 and 331:
Page 332 and 333:
Page 334 and 335:
Page 336 and 337:
Page 338 and 339:
Page 340 and 341:
Page 342 and 343:
Page 344 and 345:
Page 346 and 347:
Page 348 and 349:
Page 350 and 351:
Page 352 and 353:
Page 354 and 355:
Page 356 and 357:
3.10. Нестационарные
Page 358 and 359: 3.10. Нестационарные
Page 374 and 375: 3.11. Методы установл
Page 376 and 377: 3.12. Теория А.А. Сама
Page 378 and 379: 3.12. Теория А.А. Сама
Page 380 and 381: 3.13. Вычисление опре
Page 382 and 383: 3.14. Оценка погрешно
Page 384 and 385: 3.14. Оценка погрешно
Page 386 and 387: 3.16. Проблема собств
Page 404 and 405: 3.17. Численные метод
Page 430 and 431: Литература к главе
Page 432 and 433: Литература к главе
Page 434 and 435: Глава 4Решение нели
Page 436 and 437: 4.2. Вычислительно-к
Page 446 and 447: 4.3. Векторные поля и
Page 456 and 457: 4.4. Классические ме
Page 458 and 459:
4.4. Классические ме
Page 460 and 461:
Page 462 and 463:
Page 464 and 465:
Page 466 and 467:
Page 468 and 469:
Page 470 and 471:
4.6. Интервальные ли
Page 472 and 473:
4.7. Интервальные ме
Page 474 and 475:
Page 476 and 477:
Page 478 and 479:
Page 480 and 481:
Page 482 and 483:
4.8. Глобальное реше
Page 484 and 485:
Page 486 and 487:
Page 488 and 489:
Page 490 and 491:
Page 492 and 493:
Обозначения 491IR n мн
Page 494 and 495:
Обозначения 493DO WHILE
Page 496 and 497:
Обозначения 495Бюфф
Page 498 and 499:
Обозначения 497Кузь
Page 500 and 501:
Обозначения 499Рэле
Page 502 and 503:
Обозначения 501Штиф
Page 504 and 505:
Предметный указате
Page 506 and 507:
Предметный указате
show all

С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?