С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.14. Оценка погрешности приближённого решения 383С другой стороны, вспомним, что из (3.131) следует∥ x (k) −x ⋆∥ ∥ ≤ ‖C‖·∥ ∥x (k−1) −x ⋆∥ ∥ .Подставляя сюда вместо ‖x (k−1) −x ⋆ ‖ оценку сверху (3.132), получаемокончательно∥ x (k) −x ⋆∥ ∥ ≤‖C‖∥ x (k) −x (k−1)∥ ∥ . (3.133)1−‖C‖Выведенная оценка может быть использована на практике как дляоценки погрешности какого-то приближения из итерационной последовательности,так и для определения момента окончания итераций, т. е.того, достигнута ли желаемая точность приближения к решению илинет.Пример 3.14.1 Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений( ) ( 2 1 0x = ,3 4 5)точное решение которой равно (−1,2) ⊤ . Пусть для решения этой системыорганизован итерационный метод Гаусса-Зейделя с начальнымприближением x (0) = (0,0) ⊤ . Через сколько итераций компоненты очередногоприближения к решению станут отличаться от точного решенияне более, чем на 10 −3 ?Исследуемый нами вопрос требует чебышёвской нормы‖·‖ ∞ для измеренияотклонения векторов друг от друга, и соответствующая подчинённаяматричная норма задаётся выражением из Предложения 3.3.6.Матрица оператора перехода итерационного метода Гаусса-Зейделя согласно(3.103) есть−( ) −1 ( ) ( )2 0 0 1 0 −0.5= ,3 4 0 0 0 0.375так что её ∞-норма равна 0.5. Следовательно, в оценке (3.133) имеем‖C‖1−‖C‖ = 0.51−0.5 = 1,и потому должно быть справедливым неравенство∥ x (k) −x ⋆∥ ∥∞≤ ∥ ∥ x (k) −x (k−1)∥ ∥∞. (3.134)