С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

424 3. Численные методы линейной алгебрыПрежде всего отметим, что посколькуA (k+1) = R (k) Q (k) = ( Q (k)) ⊤(Q (k) R (k)) Q (k) = ( Q (k)) ⊤A (k) Q (k) ,то все матрицы A (k) , k = 0,1,2,..., ортогонально подобны друг другу иисходной матрицеA. Как следствие, собственные значения всех матрицA (k) совпадают с собственными значениями A. Результат о сходимостиQR-алгоритма неформальным образом может быть резюмирован вследующем виде: если A — неособенная вещественная матрица, то последовательностьпорождаемых QR-алгоритмом матриц A (k) сходится«по форме» к верхней блочно-треугольной матрице.Это означает, что предельная матрица, к которой сходится QRалгоритм,является верхней треугольной либо верхней блочно-треугольной,причём размеры диагональных блоков зависят, во-первых, оттипа собственных значений матрицы (кратности и принадлежности вещественнойосиR), и, во-вторых, от того, в вещественной или комплекснойарифметике выполняется QR-алгоритм.Если алгоритм выполняется в вещественной (комплексной) арифметикеи все собственные значения матрицы вещественны (комплексны)и различны по модулю, то предельная матрица — верхняя треугольная.Если алгоритм выполняется в вещественной (комплексной) арифметикеи некоторое собственное значение матрицы вещественно (комплексно)и имеет кратность p, то в предельной матрице ему соответствуетдиагональный блок размера p×p. Если алгоритм выполняетсядля вещественной матрицы в вещественной арифметике, то простымкомплексно-сопряжённым собственным значениям (они имеют равныемодули) отвечают диагональные2×2-блоки в предельной матрице. Наконец,если некоторое комплексное собственное значение вещественнойматрицы имеет кратность p, так что ему соответствует ещё такое жекомплексно-сопряжённое собственое значение кратности p, то при выполненииQR-алгоритма в вещественной арифметике предельная матрицаполучит диагональный блок размера 2p×2p.Пример 3.17.6 Проиллюстрируем работу QR-алгоритма на примерематрицы⎛ ⎞1 −2 3⎜ ⎟⎝ 4 5 −6 ⎠, (3.149)−7 8 9