С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

442 4. Решение нелинейных уравнений и их системДля заданных отображений G, H : R n → R n и ε > 0найти значения неизвестной переменной x, такие чтоG(x) ≈ H(x) с относительной погрешностью ε , т. е.‖G(x)−H(x)‖max{‖G(x)‖,‖H(x)‖} < ε .Решения этой задачи мы также будем называть ε-решениями системыуравнений вида (4.3).Математические понятия, определения которых привлекают малыйдопуск ε, не являются чем-то экзотическим. Таковы, к примеру, ε-энтропия множеств в метрических пространствах, ε-субдифференциалфункции, ε-оптимальные решения задач оптимизации и т. п. Одним изчастных случаевε-решений являются точкиε-спектра матрицы, предложенныедля обобщения традиционного понятия собственного значенияматрицы [11, 47, 59]. Говорят, что точка z на комплексной плоскостипринадлежит ε-спектру матрицы A, если существует комплексныйвектор v единичной длины, такой что ‖(A − zI)v‖ ≤ ε, где ‖ · ‖ —какая-то векторная норма. Иными словами, при условии ‖v‖ = 1 здесьрассматривается приближённое «с точностью до ε» равенство Av = zv.4.2г Недостаточность ε-решенийНо есть и принципиально другой тип задач, которые образно могутбыть названы задачами «об определении перехода через нуль» и не сводятсяк нахождению ε-решений. Таковы задачи, в которых требуетсягарантированно отследить переход функции к значениям противоположногознака (или, более общо, переход через некоторое критическоезначение). При этом, в частности, в любой окрестности решения должныприсутствовать как положительные значения функции, так и еёотрицательные значения, тогда как в задачах нахождения «почти решений»это условие может и не выполняться.Рассмотрим следующую ситуацию, для анализа которой достаточнознание элементраной физики. Пусть кирпич лежит на опоре (см.Рис. 4.2), и мы потихоньку сдвигаем его к краю. Когда он упадёт? Для