С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.6. Прямые методы решения линейных систем 281Оно также остаётся верным в случае, когда у матриц-сомножителейна взаимнодополнительных местах в первом столбце присутствует болееодного ненулевого элемента. Следовательно, обнуление поддиагональныхэлементов первого столбца и соответствующие преобразованияправой части в методе Гаусса — это не что иное, как умножениеобеих частей СЛАУ слева на матрицу⎛10⎞r 21 1 E 1 =r 31 0 1. (3.56)⎜⎝. . .. ⎟⎠r n1 0 1Аналогично, обнуление поддиагональных элементов j-го столбцаматрицы СЛАУ и соответствующие преобразования правой части можноинтерпретировать как умножение системы слева на матрицу⎛1E j =⎜⎝⎞0. .. 1r j+1,j 1. (3.57).0 . .. ⎟⎠r nj 1В целом метод Гаусса представляется как последовательность умноженийобеих частей решаемой СЛАУ слева на матрицы E j вида (3.57),j = 1,2,...,n−1. При этом матрицей системы становится матрицаE n−1···E 2 E 1 A = U, (3.58)которая является верхней треугольной матрицей.Коль скоро все E j — нижние треугольные матрицы, их произведениетакже является нижним треугольным. Кроме того, всеE j неособенны(нижние треугольные с единицами по главной диагонали). Поэтомунеособенно и их произведение E n−1···E 2 E 1 . Вводя обозначениеL = ( E n−1···E 2 E 1) −1,