С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

318 3. Численные методы линейной алгебрысосредоточены на трёх диагоналях — главной и соседних с ней сверхуи снизу. Иными словами, для трёхдиагональной матрицы A = (a ij )неравенство a ij ≠ 0 имеет место лишь при i = j и i = j ±1.00Рис. 3.18. Портрет трёхдиагональной матрицы.Обычно трёхдиагональную системуnлинейных уравнений с n неизвестнымиx 1 , x 2 , . . . , x n записывают в следующем специальном каноническомвиде, даже без обращения к матрично-векторной форме:a i x i−1 +b i x i +c i x i+1 = d i , 1 ≤ i ≤ n, (3.84)где для единообразия рассматривают дополнительные фиктивные переменныеx 0 и x n+1 и полагают a 1 = c n = 0. Подобный вид и обозначенияоправдываются тем, что соответствующие СЛАУ получаютсядействительно «локально», как дискретизация дифференциальныхуравнений, связывающих значения искомых величин также локально,в окрестности какой-либо рассматриваемой точки.Пример 3.8.1 В §2.8 мы могли видеть, что на равномерной сеткеu ′′ (x i ) ≈ u i−1 −2u i +u i+1h 2 ,и правая часть этой формулы помимо самого узла x i , в котором берётсяпроизводная, вовлекает ещё только соседние узлы x i−1 и x i+1 .Поэтому решение конечно-разностными методами краевых задач дляразличных дифференциальных уравнений второго порядка приводит к