С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.3. Нормы векторов и матриц 231можно вложить некоторый шар в норме ‖·‖ ′ . Если же ‖a‖ ′′ ≤ C 2 ‖a‖ ′ ,то верно и обратное: в любой шар ненулевого радиуса относительнонормы ‖·‖ ′ можно поместить какой-то шар ненулевого радиуса относительнонормы ‖·‖ ′′ . Как следствие, множество, открытое относительноодной нормы, будет также открытым относительно другой, и наоборот.По этой причине одинаковыми окажутся запасы окрестностей любойточки, так что топологические структуры, порождаемые этими двумянормами, бдцт эквивалентны друг другу.Предложение 3.3.2 В векторных пространствах R n или C n‖a‖ 2 ≤ ‖a‖ 1 ≤ √ n‖a‖ 2 ,‖a‖ ∞ ≤ ‖a‖ 2 ≤ √ n‖a‖ ∞ ,1n ‖a‖ 1 ≤ ‖a‖ ∞ ≤ ‖a‖ 1 ,т.е. векторные 1-норма,2-норма и ∞-норма эквивалентны друг другу.Доказательство. Справедливость правого из первых неравенств следуетиз неравенства Коши-Буняковского (3.16), применённого к случаюb = (sgn a 1 ,sgn a 2 ,...,sgn a n ) ⊤ . Для обоснования левого из первыхнеравенств заметим, что в силу определений 2-нормы и 1-нормы‖a‖ 2 2 = |a 1 | 2 +|a 2 | 2 +...+|a n | 2 ,‖a‖ 2 1 = |a 1 | 2 +|a 2 | 2 +...+|a n | 2+2|a 1 a 2 |+2|a 1 a 3 |+...+2|a n−1 a n |,и все слагаемые 2|a 1 a 2 |, 2|a 1 a 3 |, . . . , 2|a n−1 a n | неотрицательны. В частности,равенство ‖a‖ 2 2 = ‖a‖2 1 и ему равносильное ‖a‖ 2 = ‖a‖ 1 возможнылишь в случае, когда у вектора a все компоненты равны нулю заисключением одной.Обоснование остальных неравенств даётся следующими несложны-