С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

50 2. Численные методы анализанений в силу ряда причин невыгоден в вычислительном отношении.Решение систем линейных уравнений само по себе является не вполнетривиальной задачей. Кроме того, система (2.6) оказывается весьмачувствительной к возмущениям данных или, как принято говорить,плохо обусловленной (см. §1.3; конкретную числовую оценку чувствительностирешения системы (2.6) можно найти в §§3.5а–3.5б). Поэтомуполучаемый на этом пути интерполяционный полином может обладатьбольшой погрешностью. Наконец, иногда желательно иметь для интерполяционногополинома какое-либо явное аналитическое представление,которого рассмотренный способ всё-таки не даёт.Систему линейных уравнений (2.6) можно попытаться решить в общемвиде с помощью правила Крамера, пользуясь удобным выражениемдля определителя матрицы Вандермонда в знаменателе и разложениемопределителей в числителе по столбцу свободных членов(y 0 ,y 1 ,...,y n ) ⊤ . Этот путь может быть успешно пройдён, но требуетгромоздких алгебраических преобразований.На самом деле нам нечасто требуется знать для интерполяционногополинома коэффициенты канонической формы (2.5). Для большинствапрактических целей достаточно иметь какое-либо конструктивноепредставление интерполяционного полинома, позволяющее вычислятьего значения в любой наперёд заданной точке.Для отыскания такого представления заметим, что при фиксированныхузлах x 0 , x 1 , . . . , x n результат интерполяции линейным образомзависит от значений y 0 , y 1 , . . . , y n . Более точно, если полиномP(x) решает задачу интерполяции по значениям y = (y 0 ,y 1 ,...,y n ), аполином Q(x) решает задачу интерполяции с теми же узлами по значениямz = (z 0 ,z 1 ,...,z n ), то для любых чисел α, β ∈ R полиномαP(x) + βQ(x) решает задачу интерполяции для значений αy + βz =(αy 0 +βz 0 ,αy 1 +βz 1 ,...,αy n +βz n ) на той же совокупности узлов. 3Отмеченным свойством линейности можно воспользоваться для решениязадачи интерполяции «по частям», которые удовлетворяют отдельныминтерполяционным условиям, а затем собрать эти части воедино.Именно, будем искать интерполяционный полином в видеP n (x) =n∑i=0y i φ i (x), (2.8)3 Сказанное можно выразить словами «оператор интерполирования линеен». Вдействительности, он даже является проектором, и эти наблюдения являются началомбольшого и плодотворного направления теории приближения функций.