С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.2. Интерполирование функций 53i = 0,1,...,n−1. Их называют также разделёнными разностями первогопорядка.Разделённые разности второго порядка — это величиныf ∠ (x i ,x i+1 ,x i+2 ) := f∠ (x i+1 ,x i+2 )−f ∠ (x i ,x i+1 )x i+2 −x i, (2.16)i = 0,1,...,n−2, которые являются разделёнными разностями от разделённыхразностей. Аналогичным образом вводятся разделённые разностивысших порядков: разделённая разность k-го порядка от функцииf есть, по определению,f ∠ (x i ,x i+1 ,...,x i+k ) := f∠ (x i+1 ,...,x i+k )−f ∠ (x i ,...,x i+k−1 )x i+k −x i, (2.17)i = 0,1,...,n − k, т. е. она равна разделённой разности от разделённыхразностей предыдущего (k − 1)-го порядка. Для удобства и единообразияможно также считать, что сами значения функции являютсяразделёнными разностями нулевого порядка, т. е. f ∠ (x i ) = f(x i ),i = 0,1,...,n.Разделённые разности можно определелять не только для функцийнепрерывного аргумента, но и для функций дискретного аргумента,проще говоря, для набора значений y 0 ,y 1 ,...,y n , соответствующего узламx 0 , x 1 , . . . , x n . Назовём разделённой разностью первого порядкамежду узлами x i и x i+1 величину(y i ,y i+1 ) ∠ := y i+1 −y ix i+1 −x i.Разделённой разностью k-го порядка значений y i ,y i+1 ,...,y i+k по узламx i , x i+1 , . . . , x i+k называется величина(y i ,y i+1 ,...,y i+k ) ∠ := (y i+1,...,y i+k ) ∠ −(y i ,...,y i+k−1 ) ∠x i+k −x i,i = 0,1,...,n−k. Это обозначение не содержит явного указания на узлыx i ,x i+1 , . . . ,x i+k , по которым берётся набор значений(y i ,y i+1 ,...,y i+k ),так что значения этих узлов подразумеваются.Отметим, что в определении разделённых разностей, вообще говоря,не накладывается никаких условий на взаимное расположение точекx 0 , x 1 , . . . , x n . В частности, совсем не обязательно, чтобыx i < x i+1 .