С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

346 3. Численные методы линейной алгебрыПредложение 3.9.4 Если в системе линейных алгебраических уравненийAx = b матрица A имеет диагональное преобладание, то методГаусса-Зейделя для решения этой системы сходится при любомначальном приближении.Доказательство. Отметим, прежде всего, что в условиях диагональногопреобладания в A решение x ⋆ рассматриваемой линейной системысуществует (вспомним признак неособенности Адамара, §3.2е). Пусть,как и ранее, x (k) — приближение к решению, полученное на k-ом шагеитерационного процесса. Исследуем поведение погрешности решенияz (k) = x (k) −x ⋆ в зависимости от номера итерации k.Чтобы получить формулу для z (k) , предварительно перепишем соотношения,которым удовлетворяет точное решение x ⋆ : вместоn∑a ij x ⋆ j = b i ,j=1i = 1,2,...,n.можно придать им следующий эквивалентный видx ⋆ i = 1a ii(∑i−1b i − a ij x ⋆ j −j=1n∑j=i+1a ij x ⋆ j), i = 1,2,...,n.Вычитая затем почленно эти равенства из расчётных формул методаГаусса-Зейделя, т. е. изx (k+1)i = 1a ii(получимz (k+1)i = 1a ii(∑i−1b i −j=1∑i−1−j=1a ij x (k+1)ja ij z (k+1)j−−n∑j=i+1n∑j=i+1a ij x (k)ja ij z (k)j)), i = 1,2,...,n,, i = 1,2,...,n.Беря абсолютное значение от обеих частей этого равенства и пользуясьнеравенством треугольника для оценки сумм в правой части, будем