С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

304 3. Численные методы линейной алгебрыuxvHxРис. 3.16. Геометрическая интерепретация действия матрицы отражения.Доказательство. Если H — искомая матрица отражения, и u — порождающийеё вектор Хаусхолдера, то утверждение предложения требуетравенстваHx = x−2 ( uu ⊤) x = γe (3.78)с некоторым коэффициентом γ ≠ 0. Отдельно рассмотрим два случая— когда векторы x и e неколлинеарны, и когда они коллинеарны другдругу.В первом случае можно переписать (3.78) в виде равенства2u ( u ⊤ x ) = x−γe, (3.79)правая часть которого заведомо не равна нулю. Тогда и числовой множительu ⊤ x в левой части обязан быть ненулевым, и из соотношения(3.79) можно заключить, чтоu = 12u ⊤ x (x−γe),т. е. что вектор u, порождающий искомую матрицу отражения, долженбыть коллинеарен вектору (x−γe).Для определения коэффициентаγ заметим, что ортогональная матрицаH не изменяет длин векторов, так что ‖Hx‖ 2 = ‖x‖ 2 . С другойстороны, взяв евклидову норму от обеих частей (3.78), получим‖Hx‖ 2 = |γ|‖e‖ 2 . Сопоставляя оба равенства, можем заключить‖x‖ 2 = |γ|‖e‖ 2 , т. е. γ = ±‖x‖ 2 .Следовательно, вектор Хаусхолдера u коллинеарен векторамũ = x±‖x‖ 2 e, (3.80)