С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

4.3. Векторные поля и их вращение 447Достаточно прозрачна связь деформаций с возмущениями векторногополя, т. е. отображения Φ. Но в качестве инструмента исследованиярешений систем уравнений и особых точек векторных полей намнужны деформации, которые не искажают свойство поля быть невырожденным.Определение 4.3.3 Деформацию ∆(λ,x) назовём невырожденной, если∆(λ,x) ≠ 0 для всех λ ∈ [0,1] и x ∈ M.Ясно, что невырожденные деформации могут преобразовывать другв друга (соединять) только невырожденные векторные поля. Примераминевырожденных деформаций векторных полей, заданных на всёмR n , являются растяжение, поворот относительно некоторой точки, параллельныйперенос.Определение 4.3.4 Если векторные поля можно соединить невырожденнойдеформацией, то они называются гомотопными.В частности, любая достаточно малая деформация невырожденноговекторного поля приводит к гомотопному полю.Нетрудно понять, что отношение гомотопии векторных полей рефлексивно,симметрично и транзитивно, будучи поэтому отношениемэквивалентности. Как следствие, непрерывные векторные поля,невырожденные на фиксированном множестве M ⊆ R n , распадаетсяна классы гомотопных между собой полей.4.3б Вращение векторных полейПусть D — ограниченная область в R n с границей ∂D. Через clDмы обозначим её топологическое замыкание. Оказывается, каждомуневырожденному на ∂D векторному полю Φ можно сопоставить целочисленнуюхарактеристику — вращение векторного поля Φ на ∂D, —обозначаемую γ(Φ,D) и удовлетворяющую следующим условиям:(A) Гомотопные на ∂D векторные поля имеют одинаковое вращение.(B) ПустьD i , i = 1,2,..., — непересекающиеся области, лежащие в D(их может быть бесконечно много). Если непрерывное векторноеполе Φ невырождено на теоретико-множественной разности( ⋃clD \ D i),i