С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.12. Численное интегрирование 143Задачей численного интегрирования называют задачу нахожденияопределённого интеграла (2.109) на основе знания значений функцииf(x), без привлечения её первообразных и формулы Ньютона-Лейбница(2.110). Подобная задача нередко возникает на практике, например, еслиподинтегральная функция f(x) задана таблично, т. е. своими значениямив дискретном наборе точек, а не аналитической формулой. Внекоторых случаях численное нахождение интеграла приходится выполнятьпотому, что первообразная для интегрируемой функции невыражается через элементарные функции. Но даже если эта первообразнаяможет быть найдена в конечном виде, её вычисление не всегдаосуществляется просто (длинное и неустойчивое к ошибкам округлениявыражение и т. п.). Все эти причины вызывают необходимость развитиячисленных методов для нахождения определённых интегралов.?xРис. 2.20. Вычисление определённого интеграла необходимо принахождении площадей фигур с криволинейными границамиНаибольшее распространение в вычислительной практике получилиформулы вида∫ b n∑f(x)dx ≈ c k f(x k ), (2.111)aгде c k — некоторые постоянные коэффициенты,x k — точки из интервалаинтегрирования [a,b], k = 0,1,...,n. Подобные формулы называютквадратурными формулами, 15 коэффициенты c k — это весовые коэфициентыили просто вес´а квадратурной формулы, а точки x k — её узлы.15 «Квадратура» в оригинальном смысле, восходящем ещё к античности, означалапостроение квадрата, равновеликого заданной фигуре. Но в эпоху Возрожденияэтот термин стал означать вычисление площадей фигур.k=0