С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

128 2. Численные методы анализа2.10г Среднеквадратичноеприближение функцийВ этом разделе мы применим развитый выше общий подход к конкретнойзадаче наилучшего среднеквадратичного приближения функций,заданных на интервале вещественной оси.Приближение функций в норме, порождённой скалярным произведением,часто называют среднеквадратичным приближением или простоквадратичным. Дело в том, что в конечномерной ситуации скалярнымпроизведением векторовf = (f 0 ,f 1 ,...,f n ) ⊤ и g = (g 0 ,g 1 ,...,g n ) ⊤обычно берут1n∑〈f,g〉 = ̺if i g i , (2.97)n+1для некоторого положительного весового вектора ̺ = (̺0,̺1,...,̺n) ⊤ ,̺i > 0. То есть, соответствующая норма ‖ · ‖ такова, что расстояниеодной функции до другой естьdist(f,g) = ‖f −g‖ =(1n+1i=0) 1/2 n∑̺i(f i −g i ) 2 , (2.98)— усреднение квадратов разностей компонент с какими-то весовымимножителями ̺i, i = 0,1,...,n. В частности, если известна информацияо точности задания отдельных значений функции f i , то веса ̺iможно назначать так, чтобы отразить величину этой точности, сопоставляязначениям f i с б´ольшей точностью б´ольший вес.1Нормирующий множительn+1при суммах в (2.97) и (2.98) удобнобрать для того, чтобы с ростом размерности n (при росте количестванаблюдений, измельчении сетки и т. п.) ограничить рост величины скалярногопроизведения и нормы, обеспечив тем самым соизмеримостьрезультатов при различных n.Еслиf иg — функции непрерывного аргумента, то обычно полагаютскалярное произведение равным〈f,g〉 =∫ bai=0̺(x)f(x)g(x)dx, (2.99)для некоторой весовой функции ̺(x) > 0. Это выражение с точностьюдо множителя можно рассматривать как предел выражения (2.97) при